《宋史》卷二十五· 脱脱,阿鲁图

步日躔

　　周天分：三百八十六萬八千六十五、秒二。

　　周天度：三百六十五度。虛分二千七百一十五、秒二，約分二十五、秒六十四。

　　歲差：一百二十五、秒二。

　　乘法：三十二。

　　除法：四百八十七。

　　秒法：一百。

　　求每日盈縮定數：以乘法乘所入氣昇降分，如除法而一，為其氣中平率；與後氣中平率相減，為差率；半差率，加減其氣中平率，為其氣初、末汎率。至後加為初，減為末；分後減為初，加為末。又以乘法乘差率，除法而一，為日差；半之，加減初、末汎率，為初、末定率。至後減初加末，分後加初減末。以日差累加減氣之定率，為每日昇降定率；至後減，分後加。以每日昇降定率，冬至後昇加降減，夏至後昇減降加其氣初日盈縮分，為每日盈縮定數；其分、至前一氣先後率相減，以前末汎率為其氣初汎率，以半日差，至前加之，分前減之。為其氣初日定率。餘依本術。求朏朒準此。

　　求經朔弦望入氣：置天正閏日及餘，如氣策及餘秒以下者，以減氣策及餘秒，為入大雪氣；已上者去之，餘以減氣策及餘秒，為入小雪氣：即得天正十一月經朔入大、小雪氣日及餘秒。求弦、望及後朔入氣，以弦策累加之，滿氣策及餘秒去之，即得。

　　求定氣日：冬、夏二至以常氣為定。餘即以其氣下盈縮分縮加盈減常氣約餘為定氣，滿若不足，進退大餘，命甲子，算外，即定氣日及分。

　　求經朔弦望入氣朏朒定數：各以所入氣小餘乘其日損益率，如樞法而一，即得。

　　求赤道宿度

　　斗：二十六度。牛：八度。女：十二度。虛：十度。及分。危：十七度。室：十六度。壁：九度。

　　北方七宿九十八度。虛分二千七百一十五、秒二，約分二十五、秒六十四。

　　奎：十六度。婁：十二度。胃：十四度。昴：十一度。畢：十七度。觜：一度。參：十度。

　　西方七宿八十一度。

　　井：三十三度。鬼：三度。柳：十五度。星：七度。張：十八度。翼：十八度。軫：十七度。

　　南方七宿一百一十一度。

　　角：十二度。亢：九度。氐：十五度。房：五度。心：五度。尾：十八度。箕：十一度。

　　東方七宿七十五度。

　　前皆赤道度，其畢、觜、參及輿鬼四宿度數與古度不同，自大衍曆依渾天儀以測定，為用紘帶天中，儀極是憑，以格黃道。

　　推天正冬至赤道日度：以歲差乘距所求積年，滿周天分去之，不盡，用減周天分，餘以樞法除之為度，不盡為餘秒。其度，命以赤道虛宿七度外起算，依宿次去之，不滿者，即得天正冬至加時赤道日躔所距宿度及餘秒。其餘以樞法退除為分及秒，各以一百為度。

　　求二十四氣赤道日度：置天正冬至加時赤道日度及餘秒，以氣策及餘秒累加之，先以三十六乘赤道秒，以一百乘氣策秒，然後加之，即秒母皆同三千六百。滿赤道宿次去之，即各得二十四氣加時赤道日躔宿度及餘秒。

　　求二十四氣昏後夜半赤道日度：各以其氣小餘減樞法，其秒亦以一百乘，然乃減之。餘加其氣加時赤道日躔宿度及餘秒，即其氣初日昏後夜半赤道日度及餘秒。求次日累加一度，滿宿次去之，各得所求。

　　求赤道宿積度：置冬至加時日躔赤道宿全度，以冬至加時日躔赤道宿度及約分秒減之，餘為距後度及分秒；以赤道宿度累加距後度，即得各赤道宿積度及分秒。

　　求赤道宿積度入初末限：各置赤道宿積度及分秒，滿九十一度三十一分、秒一十一去之，餘四十五度六十六分以下為入初之限；已上者，用減九十一度三十一分，餘為入末限度及分秒。

　　求二十八宿黃道度：各置赤道宿入初、末限度及分，用減一百二十五，餘以初、末限度及分乘之，十二除為分，分滿百為度，命為黃赤道差度及分；至後分前以減、分後至前以加赤道宿積度，為其宿黃道積度；以前宿黃道積度減其宿黃道積度，為其宿黃道度及分。其分就近約為太、半、少。

　　黃道宿度

　　斗：二十三太。牛：七半。女：十一半。虛：十、秒六十四。危：十七太。室：十七。壁：九少。

　　北方七宿九十七度半、秒六十四。

　　奎：十七半。婁：十二太。胃：十四太。昴：十一。畢：十六。觜：一。參：九少。

　　西方七宿八十二度。

　　井：三十。鬼：二。柳：十四。星：七。張：十八太。翼：十九少。軫：十八。

　　南方七宿一百一十度。

　　角：十三。亢：九半。氐：十五半。房：五。心：四。尾：十七。箕：十。

　　東方七宿七十四度。

　　求冬至加時黃道日躔宿次：以冬至加時赤道日躔宿度，用減一百二十五，餘以冬至加時赤道度及分乘之，十二除為分，分滿百為度，用減冬至加時赤道日度及分，即冬至加時黃道日躔宿度及分。

　　求二十四氣初日加時黃道日躔宿次：置所求年冬至日躔黃道赤道差，以次年黃赤道差減之，餘以所氣數乘之，二十四而一，所得，以加其氣下中積及約分，又以其氣初日盈縮分盈加縮減之，用加冬時黃道日度，依宿次命之，即各得其氣初日加時黃道日躔所在宿度及分。若其年冬至加時赤道日躔度空，分、秒在歲差已下者，即如前宿全度，乃求黃赤道差，以次年冬至加時黃赤道差減之，餘依本術，各得所求。此術以究算理之微，亟求其當，止以盈縮分加減中積，以天正冬至加時黃道日度加而命之。

　　求二十四氣初日晨前夜半黃道日躔宿次：置一百分，分以一百約其氣初日昇降分，昇加降減之，一日所行之分乘其初日約分，所得，滿百為分，分滿百為度，不滿百分為秒，以減其初日黃道加時日躔宿次，即其日晨前夜半黃道日躔宿次。

　　求每日晨前夜半黃道日躔宿次：各因二十四氣初日晨前夜半黃道日躔宿次，日加一度，以一百約每日昇降為分秒，昇加降減之，以黃道宿次命之，即每日晨前夜半黃道日躔所距宿度及分。

　　步月離

　　轉周分：二十九萬一千八百三、秒五百九十四。

　　轉周日：二十七、餘五千八百七十三、秒五百九十四。

　　朔差日：一、餘一萬三百三十五、秒九千四百六。

　　望差：一十四、餘八千一百四、秒五千。

　　弦策：七、餘四千五十二、秒二千五百。

　　七日：初數九千四百四十一，初約分八十九；末數一千一百七十九，末約分一十一。

　　十四日：初數八千二百三十二，初約分七十八；末數二千三百五十八，末約分二十二。

　　二十一日：初數七千五十二，初約分六十九；末數三千五百三十八，末約分二十三。

　　二十八日：初數五千八百七十三，初約分五十六。

　　已上秒法一萬。

　　上弦：九十一度三十一分、秒四十一。

　　望：一百八十二度六十二分、秒八十二。

　　下弦：二百七十三度九十四分、秒二十三。

　　平行：一十三度三十六分、秒八十七半。

　　已上秒母一百。

　　推天正十一月經朔入轉：置天正十一月經朔積分，以轉周分秒去之，不盡，以樞法除之為日，不滿為餘秒，命日，算外，即所求天正十一月經朔加時入轉日及餘秒。若以朔差日及餘秒加之，滿轉周日及餘秒去之，即次日加時入轉。

　　求弦望入轉：因天正十一月經朔加時入轉日及餘秒，以弦策累加之，去命如前，即上弦、望及下弦加時入轉日及餘秒。若以經朔、弦、望小餘減之，各得其日夜半入轉日及餘秒。

　　求朔弦望入轉朏朒定數：置所入轉餘，乘其日損益率，樞法而一，所得，以損益其下朏朒積為定數。其四七日下餘如初數下，以初率乘之，初數而一，以損益朏朒為定數。若初數已上者，以初數減之，餘乘末率，末數而一，用減初率，餘加朏朒，各為定數。其十四日下餘若在初數已上者，初數減之，餘乘末率，末數而一，為朏定數。

　　求朔望定日：各以入氣、入轉朏朒定數朏減朒加經朔、弦、望小餘，滿若不足，進退大餘，命甲子，算外，各得定日及餘。若定朔干名與後朔同名者大，不同者小，其月無中氣者為閏月。凡注曆，觀朔小餘，如日入分已上者，進一日，朔或當定，有食應見者，其朔不進。弦、望定小餘不滿日出分，退一日，其望定小餘雖滿此數，若有交食虧初起在日出已前者，亦如之。有月行九道遲疾，曆有三大二小；若行盈縮累增損之，則有四大三小，理數然也。若俯循常儀，當察加時早晚，隨其所近而進退之，不過三大二小。若正朔有加交，時虧在晦、二正見者，消息前後一兩月，以定大小。

　　求定朔弦望加時日所在度：置定朔、弦、望約分，副之，以乘其日昇降分，一萬約之，所得，昇加降減其副，以加其日夜半日度，命如前，各得其日加時日躔黃道宿次。

　　推月行九道：凡合朔所交，冬在陰曆，夏在陽曆，月行青道；冬、夏至後，青道半交在春分之宿，當黃道東；立冬、立夏後，青道半交在立春之宿，當黃道東南：至所衝之宿亦如之。冬在陽曆，夏在陰曆，月行白道；冬、夏至後，白道半交在秋分之宿，當黃道西；立冬、立夏後，白道半交在立秋之宿，當黃道西北；至所衝之宿亦如之。春在陽曆，秋在陰曆，月行朱道；春、秋分後，朱道半交在夏至之宿，當黃道南；立春、立秋後，朱道半交在立夏之宿，當黃道西南：至所衝之宿亦如之。春在陰曆，秋在陽曆，月行黑道。春、秋分後，黑道半交在冬至之宿，當黃道北；立春、立秋後，黑道半交在立冬之宿，當黃道東北：至所衝之宿亦如之。四序月離雖為八節，至陰陽之所交，皆與黃道相會，故月行有九道。各視月所入正交積度，滿象度及分去之，入交積度及象度並在交會術中。若在半象以下者為入初限；已上者，復減象度，餘為入末限；用減一百二十五，餘以所入初、末限度及分乘之，滿二十四而一為分，分滿百為度，所得，為月行與黃道差數。距半交後、正交前，以差數為減；距正交後、半交前，以差數為加。此加減出入六度，單與黃道相較之數，若較赤道，則隨氣遷變不常。計去冬、夏至以來度數，乘黃道所差，九十而一，為月行與赤道差數。凡日以赤道內為陰，外為陽；月以黃道內為陰，外為陽。故月行宿度，入春分交後行陰曆，秋分交後行陽曆，皆為同名；春分交後行陽曆，秋分交後行陰曆，皆為異名。其在同名，以差數加者加之，減者減之；其在異名，以差數加者減之，減者加之。皆以增損黃道宿積度，為九道宿積度；以前宿九道積度減之，為其九道宿度及分。其分就近約為少、半、太之數。

　　推月行九道平交入氣：各以其月閏日及餘，加經朔加時入交汎日及餘秒，盈交終日去之，及減交終日及餘秒，即各平交入其月中氣日及餘秒。滿氣策及餘秒去之，餘即平交入後月節氣日及餘秒。因求次交者，以交終日及餘秒加之，滿氣策及餘秒去之，餘為平交入其氣日及餘秒，若求其氣朏朒定數，加求朔、弦、望經日術入之，各得所求也。

　　求平交入轉朏朒定數：置所入氣餘，加其日夜半入轉餘，以乘其日損益率，樞法而一，所得，以損益其下朏朒積，乃以交率乘之，交數而一，為定數。

　　求正交入氣：以平交入氣、入轉朏朒定數，朏減朒加平交入氣餘，滿若不足，進退其日，即正交入氣日及餘秒。

　　求正交加時黃道宿度：置正交入氣餘，副之，以乘其日昇降分，一百約之，昇加降減其副，及一百乘之，樞法而一，以加其日夜半日度，即正交加時黃道日度及分秒。

　　求正交加時月離九道宿度：以正交度及分減一百二十五，餘以正交度及分乘之，滿二十四，餘為定差。以差加黃道宿度，仍計去冬、夏至以來度數乘差，九十而一，所得，依名同異而加減之，滿若不足，進退其度，命如前，即正交加時月離九道宿度及分。

　　推定朔弦望加時月所在度：各置其日加時日躔所在，變從九道，循次相當。凡合朔加時，月行潛在日下，與太陽同度，是為加時月離宿次；先置朔、弦、望加時黃道日度，以正交加時黃道宿度減之，餘以加其正交加時九道宿度，命起正交宿度，算外，即朔、弦、望加時所當九道宿度。其合朔加時若非正交，則日在黃道、月在九道各入宿度，雖多少不同，考其去極，若應繩準，故云月行潛在日下，與太陽同度。各以弦、望度及分秒加其所當九道宿度，滿宿次去之，命如前，即各得加時九道月離宿次。

　　求定朔夜半入轉：各視經朔夜半入轉，若定朔大餘有進退者，亦加減轉日，不則因經為定。

　　求次定朔夜半入轉：因定朔夜半入轉，大月加二，小月加一，餘皆四千七百一十六、秒九千四百六，滿轉周日及餘秒去之，即次定朔夜半入轉；累加一日，去命如前，各得次日夜半轉日及餘秒。

　　求月晨昏度：以晨分乘其日轉定分，樞法而一，為晨轉分；減轉定分，餘為昏轉分；乃以朔、弦、望定小餘乘轉定分，樞法而一，為加時分；以減晨昏轉分，餘為前；不足，覆減，餘為後；仍前加後減加時月，即晨、昏月所在度。

　　求朔弦望晨昏定程：各以其朔昏定月減上弦昏定月，為朔後定程；以上弦昏定月減望日昏定月，為上弦後定程；以望日晨定月減下弦晨定月，為望後定程；以下弦晨定月減後朔晨定月，為下弦後定程。

　　求每日轉定度：累計每程相距日轉定分，以減定程為盈；不足，覆減為縮；以相距日均其盈縮，盈加縮減每日轉定分，為每日轉定度及分。

　　求每日晨昏月：因朔、弦、望晨昏月，加每日轉定度及分，盈宿次去之，為每日晨昏月。凡注曆，自朔日注昏，望後次日注晨。已前月度並依九道所推，以究算理之精微。如求其速要，即依後術求之。

　　推天正經朔加時平行月：置歲周，以天正閏餘減之，餘以樞法除之為度，不盡，退除為分秒，即天正經朔加時平行月積度。

　　求天正十一月定朔夜半平行月：置天正經朔小餘，以平行分乘之，樞法而一為度，不盡，退除為分秒，所得，為加時度；用減天正經朔加時平行月，即經朔晨前夜半平行月，其定朔有進退者，即以平行度分加減之。即天正十一月定朔晨前夜半平行月積度。

　　求次定朔夜半平行月：置天正定朔夜半平行月，大月加三十五度八十分、秒六十一，小月加二十二度四十三分、秒七十三半，滿周天度分去之，即每月定朔晨前夜半平行月積度及分。

　　求定望夜半平行月：計定朔距定望日數，以乘平行度及分秒，所得，加其定朔夜半平行月積度及分，即定望夜半平行月積度及分。

　　求天正定朔夜半入轉：因天正經朔夜半入轉，若定朔大餘有進退者，亦進退之，不則因經而定，即所求年天正定朔晨前夜半入轉及其餘；以樞法退除為約分及秒，皆一百為母。

　　求定望及次定朔夜半入轉：因天正定朔夜半入轉及分秒，以朔望相距日累加之，滿轉周日二十七及分五十五、秒四十六去之，即各得定望及次定朔晨前夜半入轉日及分秒。

　　求定朔望夜半定月：置定朔、望夜半入轉分，乘其日增減差，一百約之為分，分滿百為度，增減其下遲疾度，為遲疾定度；遲減疾加夜半平行月，為朔望夜半定月；以冬至加時黃道日度加而命之，即朔望夜半月離宿次。其入轉若在四七日下，如求朏朒術入之，即得所求。

　　求朔望定程：以朔定月減望定月，為朔後定程；以望定月減次朔定月，即望後定程。

　　求朔望轉積：計朔至望轉定分，為朔後轉積；自望至次朔，亦如之，為望後轉積。

　　求每日夜半月離宿次：各以其朔、望定程與轉積相減，餘為程差；以距後程日數除之，為日差；加歲轉定分，為每日行度及分；定程多，加之；定程少，減之。以每日行度及分累加朔、望夜半宿次，命之，即每日晨前夜半月離宿次。若求晨昏月，以其日晨昏分乘其日轉定度及分，樞法而一，以加夜半月，即晨昏月所在度及分。若以四象為程，兼求弦日平行積餘，各依次入之。若以九終轉定分累加之，依宿次命之，亦得所求。

　　步晷漏

　　二至限：一百八十二、六十二分。

　　一象：九十一、三十二分。

　　消息法：七千八百七十三。

　　辰法：八百八十二半，八刻三百五十三。

　　昏明刻：一百二十九半。

　　昏明餘數：二百六十四太。

　　冬至陽城晷景：一丈二尺七寸一分半；初限六十二，末限一百二十六、十二分。

　　夏至陽城晷景：一尺四寸七分，小分八十；初限一百二十六、十二分，末限六十二。

　　求陽城晷景入二至後日數：各計入二至後日數，乃如半日之分五十，又以二至約分減之，即入二至後來午中日數及分。

　　求陽城晷景入初末限定日及分：置其日中入二至後求日數及分，以其日午中入氣盈縮分盈加縮減之，各如初限已下為在初限；已上，覆減二至限，餘為入末限定日及分。求盈縮分，置入二至後來午中日數及分，以氣策及約分除之為氣數，不盡，為入氣以來日數及分；加其氣數，命以冬、夏至，算外，即其日午中所入氣日及分。置所入氣日約分，如出朏朒術入之，即得所求。

　　求陽城每日中晷定數：置入二至初、末限定日及分，如冬至後初限、夏至後末限者，以初、末限日及分減一百四十六，餘退一等，為定差；又以初、末限日及分自相乘，以乘定差，滿六千六百四十五為尺，不滿，退除為寸分，命曰晷差；以晷差減冬至晷數，即其日陽城午中晷景定數。如冬至後末限、夏至後初限者，以初、末限日及分減一千二百一十七，餘再退，為定差；亦以初末限日及分自相乘，以乘定差，滿二萬四千九百三十，餘為尺，不滿，退除為寸分，命曰晷差；以晷差加夏至晷數，即其日陽城中晷定數。若以中積求之，即得每日晷影常數。

　　求每日消息定數：以所入氣日及加其氣下中積，一象已下，自相乘；已上者，用減二至限，餘亦自相乘，皆五因之，進二位，以消息法除之，為消息常數；副置常數，用減五百二十九半，餘乘其副，以二千三百五十除之，加於常數，為消息定數。冬至後為消，夏至後為息。

　　求每日黃道去極度及赤道內外度：置其日消息數，十六乘之，以三百五十三除為度，不滿，退除為分，所得，在春分後加六十七度三十一分，秋分後減一百一十五度三十一分，即每日黃道去極度分度。又以每日黃道去極度及分，與一象度相減，餘為赤道內、外度。若去極度少，為日在赤道內；去極度多，為日在赤道外，即各得所求。其赤道內外度，為黃、赤道相去度分。

　　求每日晨昏分日出入分及半晝分：以每日消息定數，春分後加一千八百五十三少，秋分後減二千九百一十二少，各為每日晨分；用減樞法，為昏分。以昏明餘數加晨分，為日出分；減昏分，為日入分；以日出分減半法，為晝分。

　　求每日距中度：置每日晨分，三因，進二位，以八千六百九十八除為度，不滿，退除為分，即距子度；用減半周天，餘為距中度；又倍距子度，五除，為每更差度及分。

　　求夜半定漏：置晨分，進一位，以刻法除為刻，不滿為分，即每日夜半定漏。

　　求晝夜刻及日出入辰刻：倍夜半定漏，加五刻，為夜刻；減一百刻，餘為晝刻。以昏明刻加夜半定漏，命子正，算外，即日出辰刻；以晝刻加之，命如前，即日入辰刻。

　　求更籌辰刻：倍夜半定漏，二十五而一，為籌差刻；五乘之，為更差刻。以昏明刻加日入辰刻，即甲夜辰刻；以更籌差刻累加之，滿辰刻及分去之，各得每更籌所入辰刻及分。

　　求每日昏明度：置距中度，以其日昏後夜半赤道日度加而命之，即昏中星所格宿次；又倍距子度，加昏中星命之，即曉中星所格宿次。

　　求五更中星：皆以昏中星為初更中星，以每更差加而命之，即乙夜所格宿次；累加之，各得五更中星所格宿次。

　　求九服距差日：各於所在立表候之，若地在陽城北，測冬至後與陽城冬至晷景同者，累冬至後至其日，為距差日；若地在陽城南，測夏至後與陽城夏至晷景同者，累夏至後至其日，為距差日。

　　求九服晷景：若地在陽城北冬至前後者，置冬至前後日數，用減距差日，為餘日；以餘日減一百四十六，餘退一等，為定差；以餘日自相乘而乘之，滿六千六百四十五除之為尺，不滿，退除為寸分，加陽城冬至晷景，為其地其日中晷常數。若冬至前後日多於距差日，即減去距差日，餘依陽城法求之，各其地其日中晷常數。若地在陽城南夏至前後者，以夏至前後日數減距差日，為餘日；以減一千二百一十七，餘再退，為定差；以餘日自相乘而乘之，滿二萬四千九百三十為尺，不滿，退除為寸分，以減陽城夏至晷數，即其地其日中晷常數；如不及減，乃減去陽城夏至日晷景，餘即晷在表南也。若夏至前後日多於距差日，即減去距差日，餘依陽城法求之，各其地其日中晷常數。若求中晷定數，先以盈縮分加減之，乃用法求之，即各得其地其日中晷定數。

　　求九服所在晝夜漏刻：冬、夏至各於所在下水漏，以定其處二至夜刻數，相減為冬、夏至差刻。乃置陽城其日消息定數，以其處二至差刻乘之，如陽城二至差刻二十而一，所得，為其地其日消息定數。乃倍消息定數，進一位，滿刻法約之為刻，不滿為分，乃加減其處二至夜刻。秋分後、春分前，減冬至夜刻；春分後、秋分前，加夏至夜刻。為其地其日夜刻；用減一百刻，餘為晝刻。求日出入辰刻及距中度五更中星，皆依陽城法。